音乐旋律背后的几何学关系
作曲家常说恰当的和弦和音律结合在一起，就象声音是具有几何形状的自然物体一样 ...
甲米 发表于 2013-6-3 22:34

这个研究很赞。

Tymoczho, 作曲家和音乐理论家


全四音和弦的几何空间

有兴趣的同学可以进一步看看他的书

音乐旋律背后的几何学关系
作曲家常说恰当的和弦和音律结合在一起，就象声音是具有几何形状的自然物体一样——现在普林斯顿大学的音乐家向大家展示了高级几何学确实可以作为理解音乐结构的工具。
Tymoczko教授已经探索到深层次的元素布局和非欧几里得几何学在音乐领域的运用，并且总结出一种新的相对简单的音乐创作方法。他表示，“我现在正在试图告诉人们什么风格的音乐听起来更优美，或者哪种类型的旋律作曲家更加喜爱。”他说：“我希望做的就是提供一种新的音乐创作空间，如果你喜爱一种独特的和弦或者是一组音符，那么我能够向你展现的就是怎样找到其它相似的和弦并把他们连接起来创作出动人的音律”。
传统的音乐理念要求和谐的搭配由两三个音阶差的音符组成的和弦，例如由第一、第三和第五大音阶组成的和谐主和弦可以使大多数听众感到亲近和易于欣赏。然而很多20世纪的作曲家却抛弃了这一必要条件。现代和弦经常是由一些键盘上紧密连接的“音符簇”构成，这种在传统理念中不和谐的和弦时常向听众的耳朵提出挑战。
“西方音乐理念已经发展出用于思考传统和弦的有力工具，但是对于思考新的和弦，这一工具却不够完善”，Tymoczko表示：“这一差距指引我们去发展一种更加普遍的几何模型，以空间的一点标明每一个可以想象到的和弦形式。这种方法，在您听到任何形式的和弦组合时，即使再不寻常，您仍然可以将它以空间中的点连续的标明出来。为了理解这些和弦的美妙旋律关系，您可以通过连接这些空间的点得到怎样改变音符来组合成下一个和弦的表达。”
在Tymoczko的音乐空间中有一个类似三角棱镜的表达，其中聚合在三角形中心部位的点描绘了和弦传统意义上的和谐搭配，并与邻近的一些其它有关和弦形成整洁灵巧的几何形状。而那些不和谐的簇型和弦协调形式可以在三角形边缘以外部位靠近它们自己谐和体系的空间找到。
Tymoczko说作曲家们已经口头评估了一种不需要听众从一个空间区域过快地跳到另一个区域的和谐连接形式。“这种方法你应该待在空间中的一部分，”他表示“这是我们统一音律概念中的一个重要因素”。
为了将这些思想付诸现实，Tymoczko创作了一个视频来解释19世纪作曲家肖邦弗雷德里克的一段曲子中的和弦运动情况，他的E小调钢琴序曲(作品 28, 第4号)从19世纪30年代以来就一直吸引着无数听众，但却没人能够很好的解释这些和弦的和谐性。
“这个序曲非常神秘”，Tymoczko表示：“虽然它基于传统和谐，但是却是由人们无法描述的并不标准的连续和弦连接而成。尽管如此，当您划分这些和弦运动的几何空间时，你可以清楚地看到肖邦是将它保持在一个主要的区域内，使用很短的线条向前移动。”
所有的这些都预示着你可以用自己的耳朵去欣赏任何形式协调的音律，无论是300年前的圣歌还是当代您能想象到的最顶级音乐簇。”他说：“但是每次欣赏之前您必须决定您要从哪里开始，同时您的和谐形式在空间中的哪一区域，普遍的音律统一准则建议您要待在这一区域附近。”
Tymoczko的作曲风格影响着包括古典、摇滚和爵士在内的各种风格的音乐，但是他表示并不期望人们因为他的研究从此开始通过“连点成线”的方式创作。他希望至少可以提供一种新的工具帮助人们更好的理解音乐背后的内在关系。

　　新华网北京４月２４日电 ３位美国音乐教授日前设计了一种对音乐进行分析和分类的新方法，这种方法能够深入利用包含在音乐之中的复杂数理关系。

日前出版的美国《科学》杂志上，由美国佛罗里达州立大学的克利夫顿·卡伦德、耶鲁大学的伊恩·奎因和普林斯顿大学的德米特里·蒂莫奇科组成的３人小组简要介绍了他们的“几何音乐理论”，称这种理论能够将音乐语言转化为几何语言。
他们将一组组音符分类成不同的“家族”，考察它们的数学结构，并以“点”的形式把音符再现于复杂的几何空间中。这一过程类似于中学代数课上某些相对简单的内容———根据Ｘ坐标和Ｙ坐标确定一个点在二维平面的位置
音符如果先被转换成数字，然后被转换成几何语言，那么人们最终将看到各种各样的几何空间，每个空间里都有一种独特的几何体。比如，“三和弦”在历经所有的数学运算后就会变成一个三角环。
不同的“家族”分类法会产生不同的几何空间，反映出千百年来音乐家对音乐的各种理解。科学家希望这项成就能够帮助人们更深入、更有效地分析和理解音乐。

我很敬佩建筑学家，尤其是做音乐厅、歌剧院的建筑学家，能有音乐学知识和素养的建筑学家少之又少，也就造成了国内大量的音乐厅建筑都是由国外设计师设计的现状。
这些声学实验如果往建筑学应用这方面转化，我是充满希冀的。除此而外，只能是存在于象牙塔尖的室内尤物，甚至于观赏价值都不存在。
学术和非学术，有时候就是这么泾渭分明。这条线划出了菜鸟和非菜鸟的区别。我始终是抱定了菜鸟下去的决心，音乐只能是拿来为我所用的一种价值取向。而价值取向绝非轻易更换的。
哈，李教授的博学贴，确实对我这种菜鸟无可奈何了。

对古典音乐的研究，有数学的、物理学的和神经科学的，虽然是小众的，但也有不少的文章发表，当然是在国际刊物上。不过要看懂这些论文需要高深的科学基础。
然而，对我们这些“菜鸟”而言，喜欢“古典音乐”这枚鸡蛋的味道，为什么一定要把它的DNA序列测定出来呢？难道分析清楚了它物质基础，你的味觉体验就会更丰富了吗？

谢谢各位大佬的参与。嗯，我说的是，如果声音有客观性，那么这个客观性是应该是可以测量的。如果我们不同意这个测量，那么是说明我们没有找到相对客观的测量工具。

主文中的测量是简单的，软件的，或者也是可笑的。但是，如果大家不同意这个基本问题，那么我们还能谈什么声音的客观性呢？

如果古典乐真的走进这类声学实验的象牙塔尖的话，那古典乐的受众就更小众了又小众了，甚至于我也将排斥古典 ...
metamophore 发表于 2013-5-30 20:47

1060兄别这么捉急拒绝，音乐分析软件肯定会层出不穷的，虽然它们无法教你作曲，但是肯定让你目瞪口呆的。

Focus: Sweet Music to your Nerves
Published September 2, 2011  |  Phys. Rev. Focus 28, 9 (2011)  |  DOI: 10.1103/PhysRevFocus.28.9

A theoretical model of neurons associated with hearing may explain why certain note combinations are more pleasing than others. New research supports the theory by quantifying the effect.

The most pleasing musical chords have simple mathematical relationships between the different sound frequencies within them, but the source of this perception is mysterious. A recent mathematical model suggests that the key may be the rhythmically consistent firing of neurons in response to a harmonious pair of frequencies. Now the researchers who developed the model report 2 September in Physical Review Letters that they have quantified the effect by calculating the information content of their model’s neural signals and showed that it increases for tone pairs that are more pleasant sounding. The model may also provide insights into other sensations besides hearing.


Going back to Pythagoras in 500 BCE, people have noticed that pairs of notes with simple frequency ratios, such as tones separated by an octave (2:1) or a perfect fifth (3:2), produce a more tranquil sound than, say, a minor second (16:15). Hearing the difference doesn’t require musical training, as even infants and animals respond to it. Recent research suggests that the sensation of harmony, or “consonance,” is not simply the result of the way sound waves combine; it arises from the processing of sound into electrical signals. “The behavioral preference of consonant chords is due to some basic principles of neural functionality,” says Bernardo Spagnolo of the University of Palermo in Italy.
Some physicists have tried modeling some rather complex neural “circuits,” but Spagnolo and his colleagues have restricted themselves to a simple three-neuron system that likely reflects the way neural signals travel from the ear to the brain. Two of the neurons are considered “sensory” neurons, each of which is stimulated by a different audio frequency in the inner ear. These two neurons send their electrical signals into a third, so-called “interneuron,” which sends a signal to the brain.
In their mathematical model, each neuron obeys the well-known “leaky integrate-and-fire” equations, in which incoming stimuli drive up the voltage across the neural membrane until it reaches some threshold, at which point the neuron fires a voltage spike. After firing, the voltage resets to some initial value, but the neuron must wait a short period before it can fire again. This “down-time” results in a kind of interference: if the two sensory neurons fire at around the same time, then the interneuron will only be able to relay one spike instead of two.
In a previous paper, the researchers calculated the interneuron’s firing statistics for consonant and dissonant inputs in the presence of additional “noise,” representing random signals from other, nearby neurons [1]. If the two sensory neurons were excited by a consonant pair of tones, the interneuron fired in well-spaced time intervals. But the firing pattern turned erratic when the pair of audio frequencies was dissonant.
These results, however, were not quantitative–there was no precise mathematical definition to distinguish “orderly” signals from erratic ones–which made it difficult to draw more general conclusions or apply the results to neurological data. Now the team has reanalyzed the results using information theory, which says that the less random a signal is, the more information it contains. They devised a precise measure, called regularity, which reflects this information content. Their theoretical and numerical calculations show that consonant notes produce higher regularity (or greater information) in the interneuron signal than do dissonant notes.
The regularity also behaves like a well-known psychological effect involving the perceived pitch. When subjects listen to a combination of two pure notes, they report hearing a low frequency that isn’t physically present in the sound waves. This perceived pitch increases with the ratio of the two frequencies, just as the regularity does. Spagnolo and his colleagues take this similarity as evidence that their model is capturing some hidden aspect of how sound is processed in our heads.
“This is progress,” says André Longtin of the University of Ottawa in Canada. “But I wouldn’t say that it has nailed the problem shut.” Dante Chialvo of UCLA says this is the first time that the physics and biology of neurons have been put together in a verifiable theory. Because the present model is so generic, he thinks it might apply to neurons tied to other senses. “If these authors are correct, then the basic mechanism of consonance is universal and has little to do with our ears,” Chialvo says.

–Michael Schirber

Michael Schirber is a freelance science writer in Lyon, France.

有时大家讲的"密度" 与电声学的"密度"不一样...
rock 发表于 2013-5-30 10:43

呵呵，我当然知道这里说的不是电磁场的密度。Jwang兄提出了一种衡量发烧友所说的“密度”的方法，而我的意思是这种方法行不通。

发烧友讲的"密度",与系统频宽/环境/系统功率/喇叭/心理 等等都相关....难以有统一而简单的衡量标准.